数学・統計最終更新日: 2026-09-27

等差数列・等比数列の和

Q: 等比数列で公比 r = 1 のときはどうなりますか？

すべての項が初項と同じになるため、和は 単純に a₁ × n です。和の公式 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) は r = 1 で分母が0になるため使えず、ツールでは a₁ × n に自動で切り替わります。

初項・公差（公比）・項数から、等差数列・等比数列の第n項と和をBigIntの厳密計算で求めます。1+2+⋯+100=5050のような計算が一般項と和の公式への代入過程つきで表示され、大きな桁の等比数列も誤差なく出せます。

マイツールを開く

初項 a₁

公差 d

項数 n（1〜10000）

例題で試す

初項・公差（公比）・項数を入れると、第n項と和が表示されます。

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使い方

1
数列の種類を選ぶ
等差数列か等比数列を選びます。
2
初項・公差（公比）・項数を入れる
a₁、d（またはr）、nを入力します。例題ボタンでも試せます。
3
第n項と和を確認
一般項と和の公式への代入過程つきで第n項と和が表示されます。

このツールの特長

等差数列・等比数列の第n項と和を1つのページで計算
整数入力はBigIntで厳密計算（等比数列も約1000桁まで誤差なし）
一般項・和の公式への代入過程（途中式）を表示
nの範囲チェックや公比0の通知など入力エラーをわかりやすく表示、送信なし

こんな場面で便利

数列の宿題の答え合わせ

一般項と和を手計算した答えを、代入過程つきで確認する。

総和の見当チェック

1+2+⋯+100 = 5050 のような和のオーダーを素早く確かめる。

倍増シミュレーションの下地

公比2の等比数列など、増加が急な数列の合計を厳密に把握する。

詳しい説明

等差数列は隣り合う項の差が一定の数列で、一般項は aₙ = a₁ + (n−1)d、和は Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 で求まります。等比数列は隣り合う項の比が一定の数列で、一般項は aₙ = a₁rⁿ⁻¹、和は r ≠ 1 のとき Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) です。本ツールはどちらの公式への代入過程も表示します。

計算は整数の入力に対してBigInt（任意精度整数）で行われるため、1 + 2 + ⋯ + 100 = 5050 のような典型的な計算はもちろん、公比2・項数100（約31桁）のような大きな等比数列の和も誤差なく出せます。小数を含む入力では小数（第6位まで丸め）で計算します。

適用条件: nは1以上10000以下の整数、等比数列の公比は0以外です（公比0の「数列」は第2項以降がすべて0になるため通常は数列に含めません）。等比数列で桁数が大きくなりすぎる場合は上限を案内します。入力は送信されず、計算はすべてブラウザ内で完結します。

よくある質問

等差数列と等比数列の違いは何ですか？

等差数列は隣り合う項の「差」が一定（1, 4, 7, 10…）、等比数列は隣り合う項の「比」が一定（1, 2, 4, 8…）です。差を足すか、掛けるかの違いです。

等差数列の和の公式はなぜあの形ですか？

和を前から順に並べたものと逆順に並べたものを足すと、対応する項の和がどれも a₁ + aₙ になり、それがn個並びます。したがって全体の和は n(a₁ + aₙ) ÷ 2 です。1 + 100 = 101 を100個半分にする考え方（ガウスの方法）として知られます。

等比数列で公比 r = 1 のときはどうなりますか？

すべての項が初項と同じになるため、和は単純に a₁ × n です。和の公式 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) は r = 1 で分母が0になるため使えず、ツールでは a₁ × n に自動で切り替わります。

どのくらい大きな数まで計算できますか？

整数入力ならBigIntで計算するため誤差は出ません。等比数列は公比の絶対値と項数の組み合わせで桁数が急増するため、項数500・|公比|10程度までを推奨し、超過時はエラーで案内します。