ベクトル計算（内積・なす角）
2次元・3次元ベクトルの内積、大きさ、なす角を成分の式への代入過程つきで計算します。cosθ = (a·b) ÷ (|a||b|) からの角度算出や、a·b = 0 で垂直の判定も表示。数学Bや物理の力の仕事の計算に役立ちます。
a = (a₁, a₂, a₃)
ベクトル a の成分
b = (b₁, b₂, b₃)
ベクトル b の成分
例題で試す
a・bの成分を入れると、内積・大きさ・なす角が表示されます。
使い方
- 1
次元を選ぶ
2次元（成分2つ）か3次元（成分3つ）を選びます。
- 2
成分を入力
ベクトルa・bの成分を入力します。垂直・平行の例題ボタンもあります。
- 3
値と過程を確認
内積・大きさ・なす角が代入過程つきで表示されます。a·b = 0 なら垂直です。
このツールの特長
- 2次元・3次元ベクトルの内積を成分式の代入過程つきで計算
- 大きさ |a|・|b| と、cosθ から求めるなす角（度・ラジアン）を表示
- 内積の符号から鋭角・垂直・鈍角を判定（a·b = 0 は垂直）
- 大きさ0ベクトルの扱いも案内、入力は送信しない
こんな場面で便利
数学Bの内積の答え合わせ
成分計算・なす角の問題で、手計算の答えと代入過程を照合する。
物理の仕事の計算
力と変位のなす角を求め、仕事 W = F·s·cosθ の下地を作る。
垂直・平行の判定
a·b = 0（垂直）や外積比（平行）を、数値で手早く確認する。
詳しい説明
内積 a·b は成分で a·b = a₁b₁ + a₂b₂ (+ a₃b₃) と計算でき、|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) がベクトルの大きさです。2つのベクトルのなす角 θ は、内積の定義式 a·b = |a||b|cosθ を変形した cosθ = (a·b) ÷ (|a||b|) から求まります。本ツールはこれらの式に成分を代入した過程をすべて表示します。
内積の符号は2つのベクトルの向きの関係を教えてくれます。a·b > 0 なら鋭角（向きが似ている）、a·b = 0 なら垂直、a·b < 0 なら鈍角です。特に a·b = 0 は「垂直の判定」として物理（仕事の計算で力と移動が垂直なら仕事0）でも頻出します。
適用条件: なす角は |a| と |b| が両方0より大きいときにのみ定義されます。大きさ0のベクトルとの角度は定義できず、その場合は角度欄にその旨を表示します。成分は2次元・3次元とも絶対値100万以下の半角数値で入力してください。入力は送信されず、計算はすべてブラウザ内で完結します。
よくある質問
内積とは何ですか？
2つのベクトルから「|a||b|cosθ」という1つの数値を作る演算です。成分では a·b = a₁b₁ + a₂b₂ (+ a₃b₃) と計算でき、どちらの式でも同じ値になります。結果が数値（ベクトルではなく）になるのが特徴です。
なす角はどうやって求めますか？
定義式 a·b = |a||b|cosθ を変形して cosθ = (a·b) ÷ (|a||b|) とし、これを逆余弦（cos⁻¹）に入れます。ツールでは代入過程から角度（度・ラジアン）まで表示します。
a·b = 0 というのはどういう意味ですか？
2つのベクトルのなす角が90°（垂直）であることを意味します。ただしどちらかの大きさが0の場合は角度自体が定義されないため、a·b = 0 でも垂直とは呼びません。
内積の符号は何を教えてくれますか？
a·b > 0 ならなす角は鋭角（0°〜90°）、a·b = 0 なら垂直、a·b < 0 なら鈍角（90°〜180°）です。向きの似ている具合を1つの数値で確認できます。
関連ツール
三角関数計算
角度を入力するとsin・cos・tanの値を一度に表示します。30°・45°・60°などの特別な角は1/2や√3/2のような厳密な値で示し、度とラジアンの両対応、pi/6のようなpi入力、象限ごとの符号と鋭角への直し方（基準角）も表示します。
二次方程式
二次方程式 ax² + bx + c = 0 の実数解・複素数解を計算。判別式と解の公式への代入を確認できます。
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log₂(8)のような対数を、任意の底で計算します。2・10・eのワンタップ入力に対応し、底の変換の式（ln x ÷ ln b）への代入過程と、bʸ = x で真数に戻す検算を表示。常用対数・自然対数の解説つきです。
統計計算
数値を貼り付けるだけで、データ数・合計・平均・中央値・最小値・最大値・標準偏差をまとめて計算。改行・カンマ・スペース区切りに対応し、成績や売上データの分析に役立ちます。
すべての処理はブラウザ内で実行されます。ファイルがアップロードされることはありません。
検証: 既知値（(3,4)·(4,3)=24、3D内積20、垂直90°・平行0°）、0ベクトルの扱い、ENページを自動テストで確認
今日の豆知識
内積が0のとき2つのベクトルは垂直——建築やゲーム開発で「壁と光の当たり方」を調べるのにも同じ判定が使われています。物理の「力が移動方向と垂直なら仕事は0」も同じ性質です。