PかCかは「入れ替えたら別の結果か」で判断します。 ただし、先に「対象を区別できるか」「同じ対象を再利用しないか」を確認してください。この記事は高校の「場合の数」の答え合わせや、抽出・並べ方の条件を整理する人向けです。
順列・組合せ計算を開くと、同じn=5・r=2のままモードを切り替え、10と20の違いを比較できます。総数を得る前に、次の分岐で問題の条件を確定しましょう。
順列と組合せの見分け方：順序・重複・区別
| 条件・場面 | 数え方 | 具体例 | このツールで直接計算 |
|---|---|---|---|
| 順序なし・重複なし | nCr | 委員5人から同じ役割の2人：5C2=10 | 組合せ |
| 順序あり・重複なし | nPr | 5人から委員長と副委員長：5P2=20 | 順列 |
| n個すべてを1列に並べる | n! | 5人の席順：5!=120 | 階乗 |
| 順序あり・再利用可 | nʳ | 先頭0可の4桁：10⁴=10000 | べき乗ツール |
| 同じものを含む | 重複分の階乗で割る | AAB：3!/2!=3 | 手順を分けて計算 |
| 円形で回転を同一視 | (n−1)!（n≥1） | 異なる5人の円順列：4!=24 | 条件確認後、階乗 |
円順列で席に番号が付いているなら回転しても別の席です。この場合は5!=120通り。回転を同一視しても、裏返しまで同一視するネックレスとは条件が異なります。「並べる」という語だけで公式を決めないでください。
nPr・nCrの公式と例題：5人から2人
区別できるn個から、重複せずr個を選ぶ整数条件 0≤r≤n で、nPr=n!/(n−r)!、nCr=n!/[r!(n−r)!]です。OpenStaxの数え上げ原理も、順序と区別の条件を分けて定義しています。
- 委員長は5人から選べます。
- 副委員長は、委員長になった1人を除く4人から選べます。
- 5P2=5×4=20通りです。
- 役割のない2人組なら、AB・BAを同じ1組と数えるため、5C2=20÷2!=10通りです。
3人なら1組に3!=6通りの並び方があるので、10P3=10×9×8=720、10C3=720÷6=120です。一般に nPr=nCr×r!。r=0または1では両者は等しく、r≥2なら順列のほうが大きくなります。
条件を確かめたら計算へ
同じ入力でPとCの違いを確認
n=5、r=2を入力し、組合せ10→順列20へ切り替えます。「計算の過程」の分母に2!があるかを見比べてください。
重複順列・重複組合せ・同じ文字の並べ方との違い
「取り出したカードを戻す」「同じ数字を何回でも使う」と書かれていれば、nPrをそのまま使えません。
| 問題 | 計算 | 答え | 確認する条件 |
|---|---|---|---|
| 0〜9から4桁・先頭0可・重複可 | 10⁴ | 10000 | 桁列であり4桁の整数とは異なる |
| 4桁の整数・重複可 | 9×10³ | 9000 | 先頭だけ1〜9 |
| 0〜9から4桁・先頭0可・重複不可 | 10P4 | 5040 | 使うごとに候補が減る |
| AABを1列に並べる | 3!/2! | 3 | AAB・ABA・BAA |
| 3種類から計2個・同じ種類も可・順序なし | 4C2 | 6 | AA・AB・AC・BB・BC・CC |
最後の行は重複組合せで、n種類からr個を選ぶなら (n+r−1)Cr（n≥1）に変換します。ツールに元のn・rを入れるだけではこの変換は行われません。3種類・2個なら、変換後のn=4・r=2を組合せモードへ入れます。
べき乗の計算へ分岐する場合は指数法則のガイドとべき乗計算を使えます。同じ文字を含む問題は、文字ごとの個数の合計が全体nに一致するかも確認します。
ロト6の1等確率：43C6をどう使う？
公式ルールでは1〜43から異なる6数字を選び、1等は本数字6個すべての一致です。順序を数えないので、総数は43C6です。
43C6=(43×42×41×40×39×38)/(6×5×4×3×2×1)=6096454。
すべての6数字の組が等確率で出るモデルでは、固定した1口の1等確率は 1/6096454（約0.0000164%）。同じ数字を重ねて購入しても、異なる組の数は増えません。これはルールから求めた理論値で、当せん数字の予測や購入推奨ではありません。
0!・r=0・大きな整数：入力と出力の早見表
| モードと入力 | 答え | 何を確認するか |
|---|---|---|
| 組合せ n=5、r=0 | 1 | 何も選ばない方法は1通り |
| 組合せ n=5、r=5 | 1 | 全員を選ぶ組は1組 |
| 階乗 n=0 | 1 | 0!=1の規約 |
| 組合せ n=52、r=5 | 2598960 | 52枚から5枚の順序なし手札 |
| 組合せ n=500、r=250 | 150桁 | 桁表示とコピーで照合 |
| 階乗 n=500 | 1135桁 | 150桁は出力上限ではない |
| n=5、r=7／n=501／小数 | エラー | 入力上限と整数条件 |
ツールは 0≤r≤n≤500の整数、階乗では0≤n≤500に対応します。BigIntによる整数計算で、表示は3桁区切りです。入力はブラウザ内で処理します。コピーした結果を表計算ソフトの数値セルへ貼ると、ソフト側の桁制限で丸められることがあるため、長い整数は文字列として保存してください。
解答前のチェックと、次回も使う手順
- 誰と誰を入れ替えると別になるか、AB・BAを実際に書く。
- 復元するか、先頭0を許すか、同じものを区別するかを確認する。
- nCr=nC(n−r)、nPr=nCr×r!で別の計算と照合する。
- 確率にするなら、分母と分子を同じ数え方で作り、等確率の前提を確かめる。
条件を確かめたら計算へ
条件をノートに残して答え合わせ
ツールの例題「43C6」で6096454を確認し、結果をコピー。ノートには「順序なし・重複なし」も添えてください。
再訪用にはツール上部の「お気に入り」を使えます。同じブラウザのショートカットであり、今回の入力やノートを保存・同期する機能ではありません。数学カテゴリから他の演算へ進めます。計算規則は対数・三角比も比較して学べます。
編集・確認範囲
2026年10月29日、Tools Hub編集部が公開教材・公式ルールと上記の数値例を確認しました。公式が使える条件とツールの入力上限を分けて記載しています。結果と途中式の表示・コピー・エラー処理はローカルのブラウザ検証の対象としています。
よくある質問
PとCは問題文のどこで見分けますか？
選んだ2人を入れ替えて別の結果になるかを確認します。委員長と副委員長なら別なのでP、同じ役割の委員2人なら同じなのでCです。その前に対象を区別でき、重複なしで選ぶ条件も確認します。
0!・nC0・0C0はいくつですか？
いずれも1です。何も選ばない方法を1通りと数えます。ツールは0≤r≤n≤500の整数に対応します。n<rはこのツールでは入力エラーです。
同じ数字を何回も使う暗証番号はnPrですか？
違います。各桁でn種類すべてを再利用できるr桁の列はnのr乗です。先頭0を許す4桁なら10⁴=10000通り。重複を禁止すると10P4=5040通りです。
大きな数は何桁まで表示できますか？
入力上限はnとrが500です。BigIntで整数を計算し、500C250は150桁、500!は1135桁を省略せず表示します。150桁が共通の出力上限ではありません。
