基本公式: A = P(1+r/k)^(kn) ＋ C×{(1+i)^m−1}/i ツール仕様: 毎月複利（k=12）・月末積立・税引前 倍増年数: 厳密解 ln(2)/ln(1+r) ≒ 72 ÷ 年利(%) 注意点: 利回りは仮定値であり元本・利益保証ではない

複利（Compound Interest）とは、運用で得た利息を元本に組み入れ、「元本＋過去の累積利息」の全体に対して次の期の利息が付く計算方式です。初期元本 $P$ を一定の名目年利 $r$（5%なら $r = 0.05$）で年1回複利運用するとき、$n$ 年後の元利合計は $A = P(1+r)^n$ となります。

ただし、実際の積立シミュレーションや金融商品の比較では、①複利の頻度（年1回か毎月か）、②積立のタイミング（月初か月末か）、③税金（20.315%）や信託報酬の控除有無の3条件が少しでも異なると、数十年後の試算額が数十万〜数百万円単位で変わります。自分の初期元本・毎月積立額・想定利回りですぐに年次推移表を確認したい方は、上部の 複利・積立計算ツール から1クリックで例題を読み込んで試算できます。

目的・条件別：4つの複利計算モデルと意思決定フロー

手元の計算や他サイトのシミュレーターと結果が合わないときは、以下の4つのどのモデルを使っているかを最初に照合してください。

1 一括元本の年1回複利 vs 毎月複利

年1回複利は P(1+r)ⁿ、名目年利 $r$ を12等分する毎月複利は P(1+r/12)^(12n) です。同じ名目年利5%でも、毎月複利の実効年率（EAR）は 約5.116% と高くなります。

2 毎月定額積立（月末払 vs 月初払）

月利 $i = r/12$、積立月数 $m = 12n$ のとき、月末積立は C × {(1+i)^m − 1} / i。月初積立はさらに1か月分多く運用されるため (1+i) を掛けます。当サイトのツールは月末積立を採用しています。

3 資産2倍の年数逆算（72の法則 vs 対数厳密式）

暗算では 72 ÷ 年利(%) を使いますが、レポートや精密試算では対数公式 n = ln(2) / ln(1+r)（対数計算ツール）を使用します。

4 非課税運用（NISA）vs 課税・借入の逆複利

非課税口座では表面利回りが維持されますが、課税口座では利益に 20.315% が課税されます。また、リボ払いやローン残高（ローン返済計算ツール）では複利が借入側に働くため最優先で返済します。

比較表1：単利・年1回複利・毎月複利の30年推移（元本100万円・年利5%）

初期元本 $P = 1,000,000\text{ 円}$、想定名目年利 $r = 5.0%$（$0.05$）、追加積立なし、税金・手数料なしの条件で、単利・年1回複利・**毎月複利（本ツールの方式）**の3つを比較すると次の通りになります。

  • 単利: $A_{\text{simple}} = P(1 + r n) = 1,000,000 \times (1 + 0.05n)$（毎年5万円ずつ定額増加）
  • 年1回複利: $A_{\text{annual}} = P(1 + r)^n = 1,000,000 \times (1.05)^n$
  • 毎月複利（$k=12$）: $A_{\text{monthly}} = P\left(1 + \dfrac{r}{12}\right)^{12n} = 1,000,000 \times \left(1 + \dfrac{0.05}{12}\right)^{12n}$
経過年数 $n$ 単利（円） 年1回複利（円・四捨五入） 毎月複利（円・本ツール方式） 単利と毎月複利の差額
0年（開始時） 1,000,000 1,000,000 1,000,000 0円
5年 1,250,000 1,276,282 1,283,359 +33,359円
10年 1,500,000 1,628,895 1,647,009 +147,009円
15年 1,750,000 2,078,928 2,113,704 +363,704円
20年 2,000,000 2,653,298 2,712,640 +712,640円
30年 2,500,000 4,321,942 4,467,744 +1,967,744円

👉 元本100万円・年利5%・10年の条件を複利計算ツールに読み込んで確認する

元本100万円、一定年利5%、税・費用なしの条件で30年間運用したときの単利（直線的に250万円へ増加）と年1回複利（指数関数的に約432万円へ増加）を比較したグラフ。
図：元本100万円・一定年利5%（税・費用なし）における単利（250万円）と年1回複利（約432.2万円）の30年推移比較。 図を拡大

名目年利（APR）と実効年率（EAR / APY）の換算式

名目年利 $r$ を年 $k$ 回に分けて複利計算するとき、1年後の実質的な増加率である**実効年率（Effective Annual Rate: $\text{EAR}$）**は次式で表されます（べき乗計算は べき乗・累乗計算ツール でも検証可能）。

EAR=(1+rk)k−1\text{EAR} = \left(1 + \frac{r}{k}\right)^k - 1

  • 名目年利 $r = 5.0%$・半年複利（$k=2$）: $(1 + 0.025)^2 - 1 = \mathbf{5.0625%}$
  • 名目年利 $r = 5.0%$・毎月複利（$k=12$）: $(1 + 0.05/12)^{12} - 1 \approx \mathbf{5.1162%}$
  • 逆に「1年後の実効年率がちょうど5.0%になる月利 $i$」を求めたい場合は、$i = (1.05)^{1/12} - 1 \approx 0.4074%$（名目換算で約 $4.889%$）を用います。

比較表2：毎月積立（1万・3万・5万円）× 想定年利（3%・5%・7%）の20年後早見表

初期元本 $P = 0\text{ 円}$ から、毎月末に定額 $C\text{ 円}$ を積み立て、月利 $i = r / 12$ で $m = 12n$ か月間（毎月複利）運用したときの元利合計 $A$ は、等比数列の和の公式（数列計算ツール 参照）から次式で求まります。

A=C×(1+i)m−1i(i>0),A=C×m(i=0)A = C \times \frac{(1 + i)^m - 1}{i} \quad (i > 0), \qquad A = C \times m \quad (i = 0)

以下は 20年間（$m = 240$ か月） 継続した場合の、積立月額×想定年利（名目）別の最終資産額と運用益の早見表です。

毎月の積立額 $C$ 20年間の拠出元本総額 年利 3.0% 時の最終額（運用益） 年利 5.0% 時の最終額（運用益） 年利 7.0% 時の最終額（運用益）
月 10,000円 2,400,000円 3,283,020円
（+883,020円）		 4,110,337円
（+1,710,337円）		 5,209,267円
（+2,809,267円）
月 30,000円 7,200,000円 9,849,060円
（+2,649,060円）		 12,331,010円
（+5,131,010円）		 15,627,800円
（+8,427,800円）
月 50,000円 12,000,000円 16,415,100円
（+4,415,100円）		 20,551,683円
（+8,551,683円）		 26,046,333円
（+14,046,333円）
月 100,000円
（NISAつみたて投資枠上限）		 24,000,000円
（※非課税枠上限は1,800万円）		 32,830,200円
（+8,830,200円）		 41,103,367円
（+17,103,367円）		 52,092,666円
（+28,092,666円）
  • 例として「毎月1万円・名目年利6%・20年（$i = 0.005,\ m = 240$）」なら、最終額は $4,620,409\text{ 円}$（元本 $2,400,000\text{ 円}$、運用益 $+2,220,409\text{ 円}$）になります。
  • また「毎月3万円・名目年利4%・20年」なら、最終額は $11,003,239\text{ 円}$（元本 $7,200,000\text{ 円}$、運用益 $+3,803,239\text{ 円}$）です。 👉 毎月3万円・年利4%・20年の積立条件をツールに読み込んで年次表を見る

比較表3：72の法則と対数厳密解（$\ln 2 / \ln(1+r)$）の誤差検証

一括元本が複利で 2倍 になる年数 $n$ は、$(1+r)^n = 2$ の両辺の自然対数を取ることで厳密に求まります。

n=ln⁡2ln⁡(1+r)≈0.693147r−r2/2+⋯n = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)} \approx \frac{0.693147}{r - r^2/2 + \cdots}

暗算用の 「72の法則（$n \approx 72 / R$、ただし $R = 100r$）」 は、69.3 を約数の多い 72（$1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12$ で割り切れる）に置き換え、中程度の金利（6〜10%）でのテイラー展開の2次項を織り込んだ実用近似です。

年利 $R$ (%) 72の法則（$72 \div R$） 年1回複利の厳密解 $\ln 2 / \ln(1+r)$ 毎月複利の厳密解 $\ln 2 / {12\ln(1+r/12)}$ 72の法則の誤差（対 年1回複利）
1.0 % 72.00 年 69.66 年 69.34 年 +2.34 年（やや過大）
3.0 % 24.00 年 23.45 年 23.13 年 +0.55 年
5.0 % 14.40 年 14.21 年 13.89 年 +0.19 年
6.0 % 12.00 年 11.90 年 11.58 年 +0.10 年（高精度）
8.0 % 9.00 年 9.01 年 8.69 年 −0.01 年（ほぼ一致）
10.0 % 7.20 年 7.27 年 6.96 年 −0.07 年

👉 72の法則（元本100万円・年利6%・12年＝約201.2万円）をツールで確認する

実際の資産形成で必ず確認すべき4つの現実条件（税金・コスト・リスク・負債）

金融庁のNISA解説やSECの複利計算ガイドでも注意喚起されている通り、単純な複利公式は「毎年（毎月）一定の利回りがコスト・税金なしで続く」という数学的モデルです。実務の資金計画では以下の4点を必ず点検してください。

  1. 非課税制度（新しいNISA）と課税口座（20.315%）の差: 日本の課税口座（特定口座・一般口座）では、売却益や配当・分配金に対して 20.315%（所得税および復興特別所得税15.315%＋住民税5%）が課税されます。例えば上述の「月3万円・年利5%・20年」で運用益が $+5,131,010\text{ 円}$ 出た場合、課税口座で一括売却すると約 $1,042,365\text{ 円}$ が税金として差し引かれ、手取り利益は約408.9万円になります。一方、新しいNISA（つみたて投資枠：年120万円、成長投資枠：年240万円、生涯非課税保有限度額：元本ベース1,800万円）の範囲内であれば運用益は全額非課税です。
  2. 信託報酬（運用管理費用）の差し引き: 年率0.1%の低コストインデックスファンドと年率1.5%のアクティブファンドでは、同じ市場リターン5.0%でも実質年利が $4.9%$ と $3.5%$ に分かれます。ツールに入力する「想定年利」には、年率コストを差し引いた後の実質利回りを入力するのが安全です。
  3. インフレ（物価上昇）による購買力の変化: 名目年利が4.0%でも、物価が年2.0%上昇する環境では実質的な購買力の伸び（実質金利）はおおよそ $4.0% - 2.0% \approx 2.0%$（厳密にはフィッシャー方程式 $(1+r_{\text{nominal}})/(1+\pi) - 1$）になります。
  4. 借入・ローンにおける「逆方向の複利」: 住宅ローン、マイカーローン、奨学金、クレジットカードのリボ払いでは、未払元本に対して毎月複利で利息が発生します。年利15%のリボ払い残高を残したまま年利5%の投資を行ってもトータルではマイナスになるため、借入返済の試算には ローン返済計算ツール および ローン返済の計算方法ガイド を活用して総支払利息を先に比較してください。

確認範囲

2026年10月27日に、単利・年1回複利・毎月複利（実効年率 EAR）の30年推移表、毎月積立（月1万〜10万円×年利3〜7%）の20年試算表、72の法則と自然対数厳密解の誤差表、および新しいNISA制度（生涯非課税限度額1,800万円）と金融所得課税（20.315%）の仕様を再検証・再計算しました。

よくある質問

年1回複利と毎月複利では、同じ年利5%でも30年後にいくら差が出ますか？

元本100万円・名目年利5%・30年（追加積立なし・税手数料なし）の場合、年1回複利では 1,000,000 × (1.05)³⁰ ≈ 4,321,942円ですが、名目年利5%を12等分する毎月複利（月利 0.05/12 ≈ 0.4167%、実効年率約5.116%）では 1,000,000 × (1 + 0.05/12)³⁶⁰ ≈ 4,467,744円となり、複利頻度の違いだけで30年後に約145,802円の差が生じます。

月末積立（期末払）と月初積立（期首払）で計算結果が違うのはなぜですか？

月初に積み立てる場合、毎回の拠出金が月末積立よりも「1か月分多く」運用されるためです。月利 i、積立回数 m における月末積立の将来価値 FV_end = C × {(1+i)^m − 1} / i に対し、月初積立は FV_begin = FV_end × (1 + i) となります。例えば月3万円・年利4%（月利0.333%）で20年積み立てる場合、月初積立のほうが約3.67万円多くなります。

「72の法則」はどのくらいの年利まで正確に使えますか？

年1回複利で元本が2倍になる正確な年数は ln(2) / ln(1+r) です。もともと ln(2) ≈ 0.6931 なので極低金利（1〜2%）では「69.3 ÷ 年利(%)」や「70 ÷ 年利(%)」のほうが近く、年利 6%〜10% 前後で「72 ÷ 年利(%)」の近似誤差が最小（0.1年未満）になります。なお、利率0%やマイナス金利では倍増しないため使えません。

課税口座（約20.315%）と非課税口座（NISA等）では複利計算はどう変わりますか？

日本の特定口座（源泉徴収あり）等で毎年利益や分配金に 20.315%（所得税・復興特別所得税15.315%＋住民税5%）が課税される場合、再投資に回る実質利回りが低下します。一方、NISA（つみたて投資枠：年間120万円、成長投資枠：年間240万円、生涯非課税保有限度額1,800万円）や課税繰延される無分配型ファンドでは、運用期間中の税金引去りがないまま複利計算されます。

元金と運用益（利息分）を正確に切り分けるにはどう計算しますか？

最終的な元利合計 A から「初期元本 P ＋（毎月積立額 C × 積立月数 m）」の拠出元本総額を差し引いた残りが運用益です。例えば初期元本100万円＋月3万円×20年（240か月）＝拠出総額820万円に対し、年利4%（毎月複利）の最終資産額が約1,322.6万円なら、差額の約502.6万円が運用益です。