斜方投射・放物運動の計算

斜方投射は、重力のみが作用する空中を物体が放物線を描いて進む2次元の運動です。水平方向には外力が働かないため「等速直線運動（vx = v₀·cos θ）」を行い、鉛直方向には下向きの重力加速度 g が働くため「等加速度直線運動（vy = v₀·sin θ − gt）」を行います。この運動の独立性（ガリレオの原理）により、2つの運動を独立に計算して合成できます。

最高到達点では鉛直速度が瞬間的にゼロ（vy = 0）となります。到達時間は t_peak = (v₀·sin θ) / g、地上からの最高高さは y_max = h₀ + (v₀·sin θ)² / (2g) です。最高点でも水平方向の速度（vx = v₀·cos θ）は維持されるため、全体の速度がゼロになるわけではありません。

地面（y = 0）に着地するまでの滞空時間 t_flight は、鉛直位置の方程式 y(t) = h₀ + (v₀·sin θ)t − ½gt² = 0 を解くことで求められます。地上（h₀ = 0）から投射した場合の滞空時間は t_flight = 2(v₀·sin θ) / g となり、最高点到達時間のちょうど2倍です。水平到達距離は R = vx × t_flight で求まります。

地上からの投射（h₀ = 0）では、R = (v₀²·sin 2θ) / g となり、sin 2θ が最大となる 45° のときに水平到達距離が最大となります。一方、崖やビルの上など初期の高さがある場合（h₀ > 0）は、滞空時間が長くなるため、45°よりもやや浅い角度（30°〜40°程度）で到達距離が最大になります。

着地速度の大きさは力学的エネルギー保存則 ½m(v₀)² + mgh₀ = ½m(v_land)² からも v_land = √(v₀² + 2gh₀) として求められ、運動方程式から積分した結果と厳密に一致します。本ツールは双方のアプローチによる検算を併記しています。