最小二乗法・回帰直線
データ点を貼り付けるだけで、最小二乗法で回帰直線 y = ax + b（傾きa・切片b）を計算。Σx・Σy・Σx²・Σxyの合計、偏差平方和Sxx・偏差積和Sxy、相関係数r、決定係数R²、散布図と回帰直線、残差、xからの予測値まで途中式つきで表示します。
カンマ・タブ・スペース区切りに対応。例: 1, 3 または 1 3
例題で試す
データを入力すると回帰直線を計算します。
使い方
- 1
データを貼り付ける
1行に x, y の1組をカンマ・タブ・スペース区切りで入力します。
- 2
回帰直線と指標を確認する
回帰直線 y = ax + b、傾きa、切片b、相関係数r、決定係数R²、散布図が表示されます。
- 3
予測と検算に使う
xを入力すると予測値ŷを計算します。残差の表で外れ値の有無も確認できます。
このツールの特長
- データを貼り付けるだけで回帰直線 y = ax + b を計算
- Σx・Σy・Σx²・Σxy の合計と Sxx・Sxy・Syy の途中式を表示
- 相関係数 r と決定係数 R² を計算し、相関の強さの目安を表示
- 散布図と回帰直線、データと残差（y − ŷ）の表を表示
- xを入れると予測値 ŷ を計算し、範囲外は外挿として警告
- すべてブラウザ内で計算。登録不要・入力データは送信されない
こんな場面で便利
実験レポートの検量線
測定値から検量線の傾き・切片とR²を求め、残差で外れ値を確認できます。
データの傾向をつかむ
散布図と回帰直線で2変数の関係を視覚的に確認できます。
答案・レポートの検算
手計算した傾き・切片・相関係数を、途中式つきで照合できます。
詳しい説明
最小二乗法は、データ点と直線の差（残差）の2乗和が最小になる直線を求める方法です。回帰直線を y = ax + b とすると、傾き a と切片 b は偏差平方和 Sxx と偏差積和 Sxy から a = Sxy / Sxx、b = ȳ − a·x̄ で求められます（x̄、ȳ はそれぞれの平均）。
Sxx = Σx² − (Σx)²/n、Sxy = Σxy − (Σx·Σy)/n は合計から直接計算する形で、各点の偏差を1つずつ引く手間を省けます。このツールは Σx・Σy・Σx²・Σxy の合計と、Sxx・Sxy・Syy、回帰係数を途中式つきで表示します。
相関係数 r = Sxy / √(Sxx·Syy) は −1〜1の値をとり、2つの変数の直線的な関係の強さを表します。決定係数 R² = r² は0〜1で、回帰直線が y の変動をどれだけ説明できるかの目安です（総務省統計局の解説でも「決定係数は相関係数を2乗した値」と説明されています）。
統計の教科書では回帰直線を y = a + bx（a: 切片、b: 傾き）と書くことがあります。このツールの y = ax + b とは記号の割り当てが逆なので、答案やレポートでは切片と傾きのどちらがa・bかを明記してください。xを「説明変数」、yを「目的変数」と呼びます。
よくある質問
最小二乗法とは何ですか？
データ点と直線の縦方向の差（残差）を2乗して合計し、その合計が最も小さくなる直線を求める方法です。2乗するのは、正と負の差が打ち消し合わないようにするためです。
傾きと切片の記号が教科書と違うのはなぜですか？
このツールは既存の一次関数ツールに合わせて y = ax + b（a: 傾き、b: 切片）で表示します。数学Iのデータの分析などでは y = a + bx（a: 切片、b: 傾き）と書く場合があり、aとbが逆になります。答案では何が傾きかを明記してください。
相関係数rと決定係数R²の違いは？
rは2変数の直線関係の強さと向き（−1〜1）を表し、R² = r²は回帰直線がyの変動をどれだけ説明できるか（0〜1）を表します。たとえばr = 0.7ならR² = 0.49で、説明できる変動は約49%です。
外れ値があるときはどうすればよいですか？
最小二乗法は外れ値の影響を強く受けます。残差表で大きく外れた点を確認し、測定ミスなら除外の可否を検討します。理由なく都合の悪い点を除くのは避けてください。
曲線の関係にも使えますか？
このツールは直線（一次式）専用です。データが曲線的な関係のときは、直線を当てはめてもrやR²が低くなり、無理に使うと誤解を招きます。対数変換などで直線化できる場合もあります。
予測値はどこまで信頼できますか？
データのx範囲内（内挿）では比較的安定しますが、範囲外（外挿）では信頼性が下がります。ツールは範囲外のとき警告を表示します。また、相関があっても因果関係を示すものではありません。
関連ガイド
関連ツール
統計計算
数値を貼り付けるだけで、データ数・合計・平均・中央値・最小値・最大値・標準偏差をまとめて計算。改行・カンマ・スペース区切りに対応し、成績や売上データの分析に役立ちます。
一次関数計算
2点の座標から一次関数 y = ax + b の傾き a と切片 b を計算します。変化の割合・傾きの公式への代入過程つき。中学数学の一次関数の学習や、データの傾向分析に役立ちます。
偏差値計算
平均点・標準偏差・個人の得点から偏差値を計算します。代入過程つきで表示し、偏差値50が平均、10の差が標準偏差1つ分に対応することも解説します。
二次方程式
二次方程式 ax² + bx + c = 0 の実数解・複素数解を計算。判別式と解の公式への代入を確認できます。
すべての処理はブラウザ内で実行されます。ファイルがアップロードされることはありません。
検証: 独立計算と突合（完全な直線 y=2x+1・r=1、5点のばらつき a=0.6・b=2.2・r=0.7746、負の相関 y=−2x+12・r=−1、検量線5点 a=0.99・b=0.08・R²=0.9948、予測x=10→21）とエラー処理を自動テストで確認
今日の豆知識
相関係数rを2乗すると決定係数R²になります。r = 0.7ならR² = 0.49で、回帰直線が説明できるyの変動は約49%です。「相関が強い」と「予測がよく当たる」は別の話である点に注意してください。