複素数計算
2つの複素数 a + bi の加減乗除を計算します。乗法の展開（i² = −1）や除法の共役利用の過程つき。絶対値・偏角・共役複素数・極形式も同時に表示。数学Ⅱ・数学Bの複素数の学習に役立ちます。
例題で試す
z₁ と z₂ に 3 + 4i のような形で入力すると、四則演算と |z₁|・偏角・共役・極形式が表示されます。
使い方
- 1
複素数を入力
z₁、z₂ に「3 + 4i」「-2i」「5」のような形で入力します。
- 2
四則演算を確認
加算・減算・乗算・除算の結果が、展開の過程つきで一度に表示されます。
- 3
性質を確認
z₁ の絶対値 |z|、偏角、共役複素数、極形式も同時に表示されます。
このツールの特長
- 加法・減法・乗法・除法を一括計算（乗法は i² = −1 の展開過程つき）
- 除法は共役複素数を掛ける過程を表示（0 で割る場合はエラー）
- |z₁|・偏角（度とラジアン）・共役複素数・極形式を同時表示
- 入力は送信せず、計算はすべてブラウザ内で完結
こんな場面で便利
複素数の学習
数学Ⅱ・数学Bの複素数の四則演算の答え合わせをする。
負の判別式の二次方程式
解 x = −1 ± 2i 同士の積や和を確認して、解と係数の関係を確かめる。
極形式への変換
|z| と偏角を求めて、r(cos θ + i sin θ) の形にまとめる。
詳しい説明
複素数は a + bi（a, b は実数、i は虚数単位、i² = −1）で表され、実部 a と虚部 b の組として平面上の点 (a, b) に対応します。加法・減法は実部どうし、虚部どうしをそれぞれ計算し、乗法は分配法則で展開して最後に i² = −1 を使って整理します。
除法は分母の共役複素数（虚部の符号を変えた数）を分子と分母に掛けると、分母が実数 a² + b² になって割り算できます。例えば (1 + i) ÷ (1 − i) は分子・分母に (1 + i) を掛けると 2i ÷ 2 = i です。
絶対値 |z| = √(a² + b²) は原点からの距離、偏角 arg(z) は実軸の正の方向からの回転角で、2つ合わせて極形式 r(cos θ + i sin θ) を構成します。z = 0 のとき偏角は定義されません。実部・虚部ともに絶対値100万以下で入力してください。入力は送信されず、計算はすべてブラウザ内で完結します。
よくある質問
複素数の除算はどう計算しますか？
分母の共役複素数を分子と分母の両方に掛けます。分母は (c + di)(c − di) = c² + d² という実数になるため、実部と虚部をそれぞれ割るだけで結果が出ます。
i² = −1 とは何ですか？
虚数単位 i の定義そのものです。i の2乗は −1 になるため、展開の中に i² が出てきたら −1 に置き換えます。例えば (1 + 2i)(3 + 4i) の展開では 8i² を −8 に置き換えて −5 + 10i が得られます。
絶対値と偏角は何を表していますか？
複素数 a + bi を平面上の点 (a, b) とみたとき、絶対値 |z| = √(a² + b²) は原点からの距離、偏角 arg(z) は実軸の正の方向から反時計回りに測った角度です。2つを組み合わせると極形式 r(cos θ + i sin θ) が得られます。
二次方程式の解 x = −1 ± 2i は入力できますか？
できます。「-1+2i」のようにそのまま入力してください。2解の和 −2 と積 5 が求まるので、解と係数の関係（和 = −b/a、積 = c/a）の確認に使えます。
関連ツール
二次方程式
二次方程式 ax² + bx + c = 0 の実数解・複素数解を計算。判別式と解の公式への代入を確認できます。
ベクトル計算（内積・なす角）
2次元・3次元ベクトルの内積、大きさ、なす角を成分の式への代入過程つきで計算します。cosθ = (a·b) ÷ (|a||b|) からの角度算出や、a·b = 0 で垂直の判定も表示。数学Bや物理の力の仕事の計算に役立ちます。
三角関数計算
角度を入力するとsin・cos・tanの値を一度に表示します。30°・45°・60°などの特別な角は1/2や√3/2のような厳密な値で示し、度とラジアンの両対応、pi/6のようなpi入力、象限ごとの符号と鋭角への直し方（基準角）も表示します。
行列の行列式・逆行列
2×2・3×3行列の行列式と逆行列を、余因子展開などの代入過程つきで計算します。逆行列が存在しない場合（det = 0）も判定し、逆行列の検算まで表示。数学B・線形代数の学習に役立ちます。
すべての処理はブラウザ内で実行されます。ファイルがアップロードされることはありません。
検証: 既知値（(1+2i)(3+4i)=−5+10i、(1+i)÷(1−i)=i、|3+4i|=5、(−1±2i)の積=5）、0除算・形式エラー・ENページを自動テストで確認
今日の豆知識
共役複素数を掛けると絶対値の2乗に変わります。(3+4i)(3−4i) = 9+16 = 25 = |3+4i|²。この性質が複素数の割り算の鍵で、分母を実数に変えてから割ります。