この記事は、中学理科や高校物理（物理基礎・物理）で幾何光学を学習している人、大学初年次や光工学・眼科学でレンズの結像や視力補正を学び直したい人、実験レポートで焦点距離の測定や誤差検討を行っている人向けです。
「レンズの公式で $b$ がマイナスになるとき、像はどこにできる？」「凸レンズと凹レンズで焦点距離 $f$ の符号はどう決める？」「倍率の公式にマイナスが付く理由と、正立・倒立の関係が整理できない」。
幾何光学の計算で多くの人がつまずく原因は、「実像と虚像の違い」や「直交座標系に基づく符号規則」を曖昧なまま、式を丸暗記しようとすることにあります。
この記事では、薄肉レンズの公式（1/a + 1/b = 1/f）と倍率の公式（m = -b/a）における符号の決め方を早見表で整理し、作図の3本光線ルール、カメラ・プロジェクター・虫眼鏡・凹レンズの具体計算、ベッセル法（共役点法）による焦点距離測定、無料ツールを使った検算手順まで分かりやすく解説します。
結論：レンズの公式と結像の符号判定早見表
薄肉レンズにおける結像関係は、次の2つの公式で完全に記述されます。
レンズの公式： 1/a + 1/b = 1/f
倍率の公式： m = -b/a （大きさの比: |m| = |b/a|）
ここで使われる記号の定義は以下の通りです。
- a：レンズから物体までの距離（通常、実物体を置くので $a > 0$）
- b：レンズから像までの距離（レンズの反対側にできる実像は $b > 0$、物体側にできる虚像は $b < 0$）
- f：レンズの焦点距離（凸レンズは $f > 0$、凹レンズは $f < 0$）
- m：倍率（$m < 0$ は倒立、$m > 0$ は正立、大きさの倍率は $|m|$）
| レンズ種類 | 物体距離 a と焦点距離 f | 焦点距離 f | 像距離 b | 像の種類・向き | 倍率 m | 代表的な応用 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 凸レンズ | a > 2f（焦点の2倍より遠い） | 正 (f > 0) | 正 (f < b < 2f) | 縮小・倒立・実像 | -1 < m < 0 | 写真カメラ、人間の眼球 |
| 凸レンズ | a = 2f（焦点の2倍の位置） | 正 (f > 0) | 正 (b = 2f) | 等倍・倒立・実像 | m = -1.0 | コピー機、1:1複写 |
| 凸レンズ | f < a < 2f（焦点と2倍の間） | 正 (f > 0) | 正 (b > 2f) | 拡大・倒立・実像 | m < -1.0 | プロジェクター、顕微鏡対物 |
| 凸レンズ | a = f（焦点の真上） | 正 (f > 0) | 無限遠 (b → ±∞) | 像は結ばない（平行光） | 定義不能 | サーチライト、コリメーター |
| 凸レンズ | a < f（焦点の内側） | 正 (f > 0) | 負 (b < 0) | 拡大・正立・虚像 | m > +1.0 | 虫眼鏡（ルーペ）、顕微鏡接眼 |
| 凹レンズ | 任意の実物体 (a > 0) | 負 (f < 0) | 負 (b < 0) | 縮小・正立・虚像 | 0 < m < 1.0 | 近視用眼鏡、ドアスコープ |
符号判定の黄金ルール
- 凸レンズは f > 0、凹レンズは f < 0（光を集める能力＝正、発散させる能力＝負）
- レンズを通過してスクリーンに映る実像は b > 0（必ず倒立）
- レンズを覗き込んで物体側に見える虚像は b < 0（必ず正立）
ステップ1：符号規則の物理的根拠（なぜプラスとマイナスなのか）
物理の教科書や問題集で「公式にマイナスを付ける流派」と「文字にマイナスの数値を代入する流派」が混在していることが、受験生や学習者を混乱させる最大の要因です。
国際標準（Cartesian Sign Convention: デカルト直交座標系符号規則）では、レンズの中心を原点 (0, 0) とし、光が左から右に進むものとして座標軸を設定します。
光の進行方向 →
(物体側: 左) (透過側: 右)
- +
──────────┼─────────────────────┼────────── 光軸
物体 レンズ (原点)- 実物体（a）: レンズの左側（光が入射する側）に置くため、距離として扱う場合は常に $a > 0$ です。
- 焦点距離（f）:
- 凸レンズ: 入射した平行光線が屈折して**レンズの右側（光の進行方向）**の一点に集まります。焦点が右側にあるため f > 0 です。
- 凹レンズ: 入射した平行光線は外側に発散し、光線を逆向きに延長すると**レンズの左側（物体側）**から出たように見えます。焦点が左側にあるため f < 0 です。
- 像距離（b）:
- 実像（Real Image）: 光が実際に交差して像を作るのは**レンズの右側（通過側）**です。右側にあるため b > 0 です。
- 虚像（Virtual Image）: 光は発散しており、レンズを覗き込んだ観察者の目には**レンズの左側（物体側）**から光がやってくるように見えます。左側にあるため b < 0 です。
- 倍率（m）:
- 上向きの物体高を $y_1 > 0$、像の高さを $y_2$ としたとき、$m = y_2 / y_1 = -b / a$ です。
- 実像の場合（$b > 0$）は $m = -(正)/(正) < 0$ となり、像は下を向きます（倒立像）。
- 虚像の場合（$b < 0$）は $m = - (負)/(正) > 0$ となり、像は上を向きます（正立像）。
「倍率がマイナス」とは、サイズが小さくなるという意味ではなく、**「上下が反転している（倒立）」**という向きを表す幾何学的情報です。大きさそのものの拡大率は、絶対値 |m| = |b/a| を見ます。
ステップ2：作図の3本光線ルールと幾何学的証明
レンズの公式は、幾何学的な「相似三角形」から簡単に導出できます。作図の基本となる**3本の代表光線（主光線）**のうち、任意の2本を引くことで像の位置と大きさが一意に定まります。
作図の3本光線
- 光軸に平行に進む光線: レンズで屈折した後、反対側の焦点 $F’$ を通る。（凹レンズの場合は、手前側の焦点から放射状に広がるように進む）
- レンズの中心（光学中心 O）を通る光線: 薄肉レンズでは平行平板を通過するのと同様に、屈折せずにそのまま直進する。
- 手前側の焦点 F を通る光線: レンズで屈折した後、光軸に平行に進む。（凹レンズの場合は、反対側の焦点に向かって進む光線が屈折後に平行になる）
物体の先端 P
│＼ [1] 光軸平行光線 ────────┐
│ ＼ │
物 │ ＼ [2] 中心直進光線 │
体 │ ＼ ▼ レンズ
──┴───┼────────O────────────F'──────┼─── 光軸
│ │＼
│ │ ＼ [1] は F' を通過
│ ▼ ＼
倒立実像 P'相似比によるレンズの公式の導出
物体の高さを h、像の高さを h′ とします。
- 中心直進光線がつくる相似直角三角形:
レンズ中心 O を頂点とする物体の三角形と像の三角形は相似であるため、h′ ÷ h = b ÷ a
- 平行光線がつくる相似直角三角形:
レンズ上の屈折点（高さ h）と焦点 F′、および像（高さ h′）と焦点 F′ がつくる直角三角形も相似であるため、h′ ÷ h = (b − f) ÷ f
両式の右辺を結ぶと、
b ÷ a = (b − f) ÷ f = b/f − 1
両辺を b で割ると、
1/a = 1/f − 1/b ⇒ 1/a + 1/b = 1/f
幾何学的な相似比から、レンズの公式が自然に導かれることが分かります。
ステップ3：5つの代表例で学ぶ具体的な計算手順
実際に数値を当てはめて、手計算の手順を確認しましょう。
【例1】写真カメラ：焦点の2倍より遠い位置（a > 2f）
問題: 焦点距離 f = 10 cm の凸レンズの前方 a = 30 cm の位置に物体を置いた。像の位置 b と倍率 m を求めよ。
- レンズの公式に代入：
1/b = 1/f − 1/a = 1/10 − 1/30 = 3/30 − 1/30 = 2/30 = 1/15
- 逆数を取って像距離を算出：
b = +15 cm
- 倍率を計算：
m = −b/a = −15/30 = −0.5
- 判定: b > 0 かつ m < 0（|m| = 0.5）なので、レンズの反対側 15 cm の位置に半分の大きさの縮小倒立実像ができます。
【例2】複写機・等倍投影：焦点の2倍の位置（a = 2f）
問題: 焦点距離 f = 10 cm の凸レンズの前方 a = 20 cm の位置に物体を置いた。
- レンズの公式に代入：
1/b = 1/10 − 1/20 = 2/20 − 1/20 = 1/20 ⇒ b = +20 cm
- 倍率を計算：
m = −b/a = −20/20 = −1.0
- 判定: レンズの反対側 20 cm の位置に等倍の倒立実像ができます。物体とスクリーンの間の距離は a + b = 4f = 40 cm となり、これは実像を結ぶことができる最短距離です。
【例3】プロジェクター・映写機：焦点と2倍の間（f < a < 2f）
問題: 焦点距離 f = 10 cm の凸レンズの前方 a = 15 cm の位置にスライドフィルムを置いた。
- レンズの公式に代入：
1/b = 1/10 − 1/15 = 3/30 − 2/30 = 1/30 ⇒ b = +30 cm
- 倍率を計算：
m = −b/a = −30/15 = −2.0
- 判定: レンズの反対側 30 cm の位置に2倍に拡大された倒立実像ができます。
【例4】虫眼鏡（ルーペ）：焦点の内側（a < f）
問題: 焦点距離 f = 10 cm の凸レンズの前方 a = 6 cm の位置にある小さな文字を観察した。
- レンズの公式に代入：
1/b = 1/f − 1/a = 1/10 − 1/6 = 3/30 − 5/30 = −2/30 = −1/15
- 逆数を取って像距離を算出：
b = −15 cm
- 倍率を計算：
m = −b/a = −(−15)/6 = +2.5
- 判定: b = −15 < 0 なので、レンズの手前側（物体側） 15 cm の位置に2.5倍に拡大された正立虚像ができます。レンズを覗き込むと、文字が大きく起き上がって見えます。
【例5】近視補正用凹レンズ（f < 0）
問題: 焦点距離 f = −15 cm の凹レンズの前方 a = 30 cm の位置に物体を置いた。
- 凹レンズなので f = −15 を代入：
1/b = 1/f − 1/a = 1/(−15) − 1/30 = −2/30 − 1/30 = −3/30 = −1/10
- 逆数を取って像距離を算出：
b = −10 cm
- 倍率を計算：
m = −b/a = −(−10)/30 = +1/3 ≈ +0.333
- 判定: 物体側 10 cm の位置に1/3に縮小された正立虚像ができます。凹レンズを通すと遠くの景色が小さく縮んで見えるのはこのためです。
ステップ4：よくある計算ミスと対策チェックリスト
試験やレポートで失点しやすいパターンを事前に把握しておきましょう。
- 通分した後の「逆数」を取り忘れる:
- 1/b = 1/15 と計算できたのに、答えの欄にうっかり「1/15 cm」と書いてしまうミスです。必ず「b = 15 cm」と逆数に戻しましょう。
- 凹レンズで f にマイナスを付け忘れる:
- 「焦点距離 15 cm の凹レンズ」と文章題で書かれていても、公式に代入するときは読者自身が f = −15 とマイナス符号を付与しなければなりません。
- 物体を焦点上（a = f）に置いたときの計算:
- a = f のとき、1/b = 1/f − 1/f = 0 となります。
- 1/b = 0 ということは、b → ∞（無限遠）を意味します。屈折した光線は完全な平行光線となり、どこまで行っても交わらないため、像は結びません。
- ミリメートル（mm）とセンチメートル（cm）の混在:
- 物体距離が a = 200 mm、焦点距離が f = 15 cm のように単位が分かれている場合は、必ず単位を cm（または mm）に揃えてから代入してください。
応用発展：実験レポートと眼鏡の度数（ディオプトリー・ベッセル法）
1. 屈折力・眼鏡の度数（ディオプトリー: Diopter）
眼鏡店や眼科処方箋で「−2.50 D」などと表記される数値は、レンズの焦点距離 f の逆数である**屈折力（ディオプトリー）**です。
D = 1 ÷ f [m] （※焦点距離をメートル単位で割る）
- 凸レンズ（遠視・老眼補正）: f = +40 cm = +0.4 m ⇒ D = +1 / 0.4 = +2.50 D
- 凹レンズ（近視補正）: f = −25 cm = −0.25 m ⇒ D = 1 / (−0.25) = −4.00 D
2. ベッセル法（共役点法）による高精度な焦点距離測定
物理学の学生実験で最も頻出するのが、レンズの主点位置が分からない場合でも焦点距離 f を高精度に測定できる**ベッセル法（Bessel’s Method）**です。
光源（物体）とスクリーンを距離 L（ただし L > 4f）で固定すると、スクリーン上に鮮明な実像を結ぶレンズの位置が**2箇所（拡大実像の位置と縮小実像の位置）**存在します。
光源 (物体) レンズ位置1 レンズ位置2 スクリーン
│ ───────────────────────[凸]─────────[凸]───────────────────── │
└─── 物体側距離 a₁ ───────┘ │ │
│ └── 移動距離 d ┘ │
└─────────────────────── 全体距離 L ───────────────────────────┘この2つのレンズ位置の間隔を d と測定すると、焦点距離 f は次の簡潔な式で求まります。
f = (L² − d²) ÷ (4L)
- 計算例: 光源とスクリーンの間隔 L = 100 cm、2つの結像位置の間隔 d = 40 cm の場合：
f = (100² − 40²) ÷ (4 × 100) = (10000 − 1600) ÷ 400 = 8400 ÷ 400 = 21.0 cm この方法は、レンズの厚みや主平面の位置を測定することなく、物差しで L と d を測るだけで正確な焦点距離が得られるため、実験レポートで極めて重宝されます。
無料ツール「レンズの公式と結像計算」を使った検算手順
手計算した結果や作図の様子を視覚的に確かめたいときは、当サイトの無料Webツール「レンズの公式と結像計算」を活用してください。
[物体距離 a] ───> [30 cm] ─┐
├─> 【自動計算 & 光路図描画】
[焦点距離 f] ───> [10 cm] ─┘ 像距離 b = 15.00 cm (実像)
倍率 m = -0.50 (倒立)- 基本タブ（薄肉レンズ結像計算）を選択:
- 「物体距離 $a$」に数値を入力（例:
30） - 「焦点距離 $f$」に数値を入力（凸レンズは正の値
10、凹レンズは負の値-15）
- 「物体距離 $a$」に数値を入力（例:
- 瞬時に出力される項目:
- 像距離 b: 正負付きの実数値（実像/虚像の自動判定バッジつき）
- 倍率 m: 正立・倒立の自動判定および縮小・拡大の明示
- 展開ステップ: 代入式と通分の途中計算を表示
- 動的SVG光路図シミュレータ:
- 物体（青い矢印）と結像（緑/橙の矢印）、および光軸平行光線・中心直進光線・焦点通過光線の3本の光路がリアルタイムにインタラクティブ描画されます。
- ディオプトリー換算タブ・合成レンズタブ:
- 眼鏡の度数からの焦点距離逆算や、密着した2枚のレンズの合成焦点距離（$1/f = 1/f_1 + 1/f_2$）も瞬時に検証できます。
よくある質問（FAQ）
Q1. 「虚像」とは何ですか？ スクリーンに映らないのに目で見えるのはなぜですか？
A. 実像はレンズを通過した光線が実際に1点に集まって交差するため、そこにスクリーン（白い紙など）を置けば光が当たって像が映ります。
一方、虚像はレンズを通過した後の光線が外側に広がるため、光線そのものは交差せず、スクリーンを置いても像は映りません。しかし、人間の目がその広がった光線を受け取ると、脳は「光線がまっすぐ進んできた」と錯覚し、光線の延長線の交点（レンズの向こう側）に物体があるように知覚します。これが虫眼鏡を覗いたときに大きく見える虚像の正体です。
Q2. 凸レンズで焦点距離の真上（a = f）に物体を置くとどうなりますか？
A. レンズの公式で $1/b = 1/f - 1/f = 0$ となり、$b$ は無限大になります。作図すると、レンズを出た光線はすべて互いに平行になり、交差しません。この性質を利用したのが灯台のサーチライトやコリメーター（平行光束発生装置）です。
Q3. 2枚の薄肉レンズを重ねたときの合成焦点距離はどう計算しますか？
A. 2枚のレンズが密着している（間隔 $d \approx 0$）場合、各レンズの焦点距離を $f_1, f_2$ とすると、合成焦点距離 $F$ は次の式で求まります。
1/F = 1/f₁ + 1/f₂ ディオプトリーで表すと $D = D_1 + D_2$ となり、単なる足し算になります。2枚のレンズが距離 $d$ だけ離れている場合は、1枚目のレンズが作った像を2枚目のレンズの「物体」とみなして2段階で解くか、ガウスの公式 $1/F = 1/f_1 + 1/f_2 - d/(f_1 f_2)$ を使用します。
参考資料・仕様
- OpenStax University Physics Vol 3, Section 2.4 Thin Lenses
薄肉レンズの公式の幾何学的導出と、直交座標符号規則（Cartesian sign convention）の標準的定義。 - The Feynman Lectures on Physics Vol. I, Chapter 27: Geometric Optics
フェルマーの最短時間原理に基づく屈折と結像の基本原理。 - NIST Special Publication 961 — Optical Metrology and Focal Length Measurements
国際単位系（SI）における屈折力（ディオプトリー）の定義およびレンズ焦点距離測定の標準ガイド。 - Hecht, Eugene. Optics (5th Edition), Chapter 5: Geometrical Optics
薄肉レンズ近似、主光線作図規則、およびベッセル法（共役点法）による焦点距離測定理論。
