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誤差伝播の法則と計算手順｜実験レポートでの偏微分・二乗和と丸め方

実験レポートや論文で必須となる誤差伝播の法則（不確かさの合成）を、加減乗除・べき乗の基本公式から偏微分による一般式、二乗和（独立な誤差）と最大誤差の使い分け、GUM準拠の丸めルール（有効数字）まで手計算例と途中式つきで詳しく解説します。

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公開日: 2026年11月7日更新日: 2026年11月7日Tools Hub編集部参考資料 3件

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最初に知っておくこと

単位・前提条件を明記一次資料 3件

独立な測定量の誤差合成は偏微分の二乗和（√Σ(∂f/∂xi·Δxi)²）で行います。積・商・べき乗は相対誤差の二乗和で整理でき、足し算・引き算は絶対誤差の二乗和となります。レポート報告時は誤差を1〜2桁（先頭が1なら2桁）に丸め、測定値の末位を誤差と同じ桁にそろえます。

誤差伝播計算で試す →

「物理実験や化学実験のレポートで、計算結果の誤差（不確かさ）をどう書けばいいかわからない」「なぜ足し算・引き算は絶対誤差で、掛け算・割り算は相対誤差の二乗和になるのか？」「偏微分の式を立てたあと、最後の丸めで有効数字をどう合わせるのか？」

実験レポートで多くの学生がつまずく誤差の計算は、次の3つの原則を押さえるだけで一気に整理できます。

加減は「絶対誤差」、乗除・べき乗は「相対誤差」の二乗和で計算できる
複雑な式は一般式 $\Delta f = \sqrt{\sum \left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \Delta x_i\right)^2}$ （偏微分）で各測定量の寄与を求める
レポート表記は誤差を1〜2桁（先頭が1なら2桁）に丸め、値本体の末位を同じ桁にそろえる（例: $9.8009 \pm 0.0692 \to 9.80 \pm 0.07$ ）

この記事では、誤差伝播の基本公式の導出から偏微分を使った一般式の求め方、「二乗和」と「最大誤差」の使い分け、近い値の引き算で起きる桁落ちの注意点、そして実験レポートで使える4つの実践例（オームの法則・単振り子・密度・温度差）を手計算と無料ツールで確認できる形で解説します。

結論：誤差伝播の公式早見表

測定値 $x, y$ にそれぞれ互いに独立な誤差 $\Delta x, \Delta y$ があるとき、計算結果 $f$ の誤差 $\Delta f$ は次のように求まります。

演算	計算式	誤差の合成公式（二乗和）	特徴・使いどころ
和（加算）	$f = x + y$	$\Delta f = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$	絶対誤差の二乗和。足し算で誤差は相殺されず拡大する
差（減算）	$f = x - y$	$\Delta f = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$	絶対誤差は和と同じ。差が小さいと相対誤差が跳ね上がる（桁落ち）
定数倍	$f = c \cdot x$	$$\Delta f =	c
積（乗算）	$f = x \cdot y$	$\frac{\Delta f}{\|f\|} = \sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\|x\|}\right)^2 + \left(\frac{\Delta y}{\|y\|}\right)^2}$	相対誤差の二乗和で表せる
商（除算）	$f = \frac{x}{y}$	$\frac{\Delta f}{\|f\|} = \sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\|x\|}\right)^2 + \left(\frac{\Delta y}{\|y\|}\right)^2}$	積と全く同じ形。分母の誤差も相対誤差の二乗として加算
べき乗	$f = x^n$	$\frac{\Delta f}{\|f\|} = \|n\| \cdot \frac{\Delta x}{\|x\|}$	相対誤差が指数 $\|n\|$ 倍に拡大する
一般の関数	$f(x_1, x_2, \dots)$	$\Delta f = \sqrt{\sum_{i} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \Delta x_i\right)^2}$	偏微分による合成（NIST TN 1297 / GUM推奨式）

相対誤差とは？：絶対誤差 $$\Delta x$$ を測定値の大きさ $$|x|$$ で割った値（$$\Delta x / |x|$$ またはパーセント表記）です。たとえば $$5.00 \pm 0.05\text{ V}$$ の相対誤差は $$0.05 / 5.00 = 0.01 = 1.0\%$$ です。

1. 誤差伝播の考え方と偏微分による一般式の導出

なぜ関数 $f(x, y)$ の誤差を偏微分で計算できるのでしょうか？その数学的な根拠は、1次近似（テイラー展開）にあります。

測定値 $x, y$ が真値から微小量 $\Delta x, \Delta y$ だけずれたとき、関数の変化量 $\Delta f$ は全微分によって次のように近似できます。

$\Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y$

ここで各係数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ を**感度係数（Sensitivity Coefficient）**と呼びます。「測定量 $x$ が $1$ 単位ずれたときに、計算結果 $f$ がどれだけ動くか」を表す傾きです。

二乗和（平方和の平方根）にする理由

もし $\Delta x$ と $\Delta y$ が互いに無関係な独立の測定器や目盛読みで得られた場合、両方の誤差が同時に同じ最悪の向き（両方プラス最大など）に偏る確率は極めて低く、正負の偶然誤差は互いに打ち消し合う傾向があります。

統計学的に誤差を平均 $0$ 、分散 $\sigma_x^2, \sigma_y^2$ の独立な正規分布とみなすと、分散の加法性から結果の分散 $\sigma_f^2$ は次のようになります。

$\sigma_f^2 = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 \sigma_x^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 \sigma_y^2$

両辺の平方根を取ることで、国際度量衡委員会（BIPM）の国際計測不確かさガイド（GUM: JCGM 100:2008）および米国立標準技術研究所（NIST TN 1297 式 A-3）で標準とされる合成標準不確かさの二乗和公式が得られます。

2. 二乗和 vs 最大誤差：レポートでどちらを使うべきか？

実験指導書によっては「最大誤差で求めよ」と指定される場合と、「二乗和（標準不確かさ）で求めよ」とされる場合があります。両者の違いを明確にしておきましょう。

項目	二乗和（二乗平均平方根・RMS）	最大誤差（最悪値評価）
計算式	$\Delta f = \sqrt{\sum \left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \Delta x_i\right)^2}$	$\Delta f_{\text{max}} = \sum \left\|\frac{\partial f}{\partial x_i}\right\| \Delta x_i$
統計的前提	測定誤差が互いに独立（無相関）であること	最悪の向きにすべての誤差が重なった場合
数値の大きさ	小さく、より現実に即した期待値となる	二乗和より常に大きく、過大見積もりとなる
主な用途	大学・研究機関・学術論文・公的規格の標準	安全率を厳しく取る機械・構造設計、一部の入門実験
例（オームの法則）	$R = 20.00 \pm 0.45\,\Omega$	$R = 20.00 \pm 0.60\,\Omega$

レポートでの判断基準：実験指導書に「最大誤差」と明記されている場合は線形和の最大誤差を使いますが、特に指定がない場合や「不確かさを評価せよ」とある場合は、現代の計量標準である二乗和（平方和の平方根）を用いるのが標準的です。

3. レポートで減点されない「丸め方と有効数字」の国際ルール

誤差伝播の計算で最も多い減点要因は、**「計算機の出力をそのまま長々と書いてしまうこと」**です。

国際規格 GUM（Section 7.2.6）および NIST ガイドラインでは、次の2段階で結果を丸めることが定められています。

ステップ 1：誤差（不確かさ）を1桁または2桁に丸める

原則として不確かさは有効数字1桁で表します（例: $\pm 0.043 \to \pm 0.04$ ）。
ただし、不確かさの先頭の数字が「1」または「2」の場合は、丸めによる情報の欠落を防ぐため有効数字2桁残すことが推奨されます（例: $\pm 0.142 \to \pm 0.14$ ）。

ステップ 2：測定値本体の末位を、不確かさの最後の桁にそろえる

不確かさが小数第2位まであるなら、値本体も小数第2位で四捨五入します。不確かさより細かい桁には物理的な意味がありません。

【悪い例（減点対象）】
g = 9.800923 ± 0.06924 m/s²   ← 誤差が細かすぎ、値も丸められていない
g = 9.8 ± 0.07 m/s²           ← 値と誤差の桁数が合っていない（値が粗い）

【正しい例（GUM / NIST準拠）】
g = (9.80 ± 0.07) m/s²         ← 誤差を1桁（0.07）にし、値を小数第2位にそろえる

4. 実験レポートで頻出する4つの実践手計算例

例題 1：オームの法則による電気抵抗 $R = \frac{V}{I}$

電圧計の指示値 $V = 5.00 \pm 0.05\text{ V}$ 、電流計の指示値 $I = 0.250 \pm 0.005\text{ A}$ から抵抗 $R$ とその誤差を求めます。

抵抗値の計算： $R = \frac{5.00}{0.250} = 20.00\,\Omega$
各変数の相対誤差： $\frac{\Delta V}{V} = \frac{0.05}{5.00} = 0.010\ (1.0\%)$ $\frac{\Delta I}{I} = \frac{0.005}{0.250} = 0.020\ (2.0\%)$
合成相対誤差（商の公式）： $\frac{\Delta R}{R} = \sqrt{(0.010)^2 + (0.020)^2} = \sqrt{0.0001 + 0.0004} = \sqrt{0.0005} \approx 0.02236\ (2.24\%)$
絶対誤差の算出： $\Delta R = 20.00 \times 0.02236 \approx 0.4472\,\Omega$
有効数字の丸め：不確かさは $\pm 0.4\,\Omega$ （1桁）または $\pm 0.45\,\Omega$ （2桁）。ここでは小数第1位で丸めて $(20.0 \pm 0.4)\,\Omega$ 、または $(20.00 \pm 0.45)\,\Omega$ と報告します。

例題 2：単振り子による重力加速度 $g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$

糸の長さ $L = 1.000 \pm 0.005\text{ m}$ 、周期 $T = 2.007 \pm 0.005\text{ s}$ から重力加速度 $g$ を求めます。

重力加速度の計算： $g = \frac{4 \pi^2 \times 1.000}{(2.007)^2} \approx 9.8009\text{ m/s}^2$
各測定量の相対誤差：
- 長さ $L$ （1乗）： $\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.005}{1.000} = 0.005\ (0.50\%)$
- 周期 $T$ （分母の2乗）：べき乗の性質より、寄与は $2 \times \frac{\Delta T}{T} = 2 \times \frac{0.005}{2.007} \approx 2 \times 0.002491 = 0.004982\ (0.50\%)$
合成相対誤差の計算： $\frac{\Delta g}{g} = \sqrt{(0.005)^2 + (0.004982)^2} = \sqrt{0.000025 + 0.00002482} \approx 0.007058\ (0.71\%)$
絶対誤差と丸め： $\Delta g = 9.8009 \times 0.007058 \approx 0.0692\text{ m/s}^2$ 先頭が 6 のため有効数字1桁に丸めると $\pm 0.07\text{ m/s}^2$ 。値も小数第2位にそろえて $(9.80 \pm 0.07)\text{ m/s}^2$ となります。周期の誤差が2倍に拡大される点に注意してください。

例題 3：円柱の体積と密度 $\rho = \frac{m}{\frac{\pi d^2 h}{4}}$

電子天秤で質量 $m = 52.3 \pm 0.1\text{ g}$ 、ノギスで直径 $d = 2.50 \pm 0.02\text{ cm}$ 、高さ $h = 10.2 \pm 0.1\text{ cm}$ を測定しました。

密度の計算： $V = \frac{\pi \times (2.50)^2 \times 10.2}{4} \approx 50.069\text{ cm}^3$ $\rho = \frac{52.3}{50.069} \approx 1.0446\text{ g/cm}^3$
相対誤差の内訳：
- 質量 $m$ ： $\frac{0.1}{52.3} \approx 0.19\%$
- 直径 $d$ （2乗）： $2 \times \frac{0.02}{2.50} = 2 \times 0.80\% = 1.60\%$
- 高さ $h$ ： $\frac{0.1}{10.2} \approx 0.98\%$
分散寄与度の確認：直径 $d$ の相対誤差が2乗されるため、全体の不確かさの大部分（約70%以上）を直径の測定誤差が占めています。
合成相対誤差と結果：
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \sqrt{(0.00191)^2 + (0.01600)^2 + (0.00980)^2} \approx 1.89\%$
$\Delta \rho = 1.0446 \times 0.0189 \approx 0.0197\text{ g/cm}^3$ 先頭が 1 なので有効数字2桁残すと $\pm 0.020\text{ g/cm}^3$ 。報告形式は $(1.045 \pm 0.020)\text{ g/cm}^3$ となります。

例題 4：近い温度の引き算による「桁落ち」 $\Delta T = T_2 - T_1$

熱量測定で、加熱前温度 $T_1 = 34.9 \pm 0.1^\circ\text{C}$ 、加熱後温度 $T_2 = 35.2 \pm 0.1^\circ\text{C}$ を測定しました。

温度差の計算： $\Delta T = 35.2 - 34.9 = 0.30\text{ K}$
絶対誤差の合成： $\Delta(\Delta T) = \sqrt{(0.1)^2 + (0.1)^2} = \sqrt{0.02} \approx 0.1414\text{ K}$
相対誤差の衝撃的な増大：それぞれの温度の相対誤差は $0.1 / 35 \approx 0.3\%$ にすぎませんでしたが、差の相対誤差は： $\frac{0.1414}{0.30} \approx 0.471\ (47.1\%)$ なんと 約47%もの巨大な不確かさ に跳ね上がってしまいます。これが**「桁落ち（Catastrophic Cancellation）」**です。
対処法：このように近い値の差を取る測定では、個別の絶対値を測るのではなく、差動熱電対などで「温度差そのものを直接測定する」実験系に改める必要があります。

5. よくある間違い・落とし穴チェックリスト

三角関数の角度誤差を「度（°）」のまま代入していないか？
$\sin\theta$ や $\cos\theta$ を偏微分するとラジアン基準の係数になります。角度の誤差 $\Delta\theta$ が $1^\circ$ の場合、必ずラジアン換算 $\Delta\theta = 1 \times \frac{\pi}{180} \approx 0.0175\text{ rad}$ に直して代入してください。
同一の測定量を式の中で重複させていないか（相関の無視）？
たとえば $f = \frac{x}{x + y}$ のような式で、分子の $x$ と分母の $x$ を別々の独立変数として二乗和を取ると、相関を無視して誤差を誤って大きく見積もってしまいます。この場合は $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y}{(x+y)^2}$ と正しく偏微分をまとめてから計算します。
計算の途中で数値を丸めていないか？
途中で丸めると、二乗や平方根の過程で丸め誤差が累積します。途中計算は計算機の精度を維持し、最後の1回だけ有効数字に合わせて丸めます。

6. 無料ツールで手計算を即座に検算する

ブラウザ上で任意の式を入力し、自動偏微分と二乗和・最大誤差、GUM準拠の丸め結果を確認できる誤差伝播計算ツールの使い方です。

[誤差伝播計算ツールの画面構成]
┌────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 式入力: g = 4*pi^2*L / T^2                             │
│ [例題プリセット: 単振り子 / オームの法則 / 円柱密度 / 温度差] │
├────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 測定量 L: 値 [ 1.000 ]  誤差 ± [ 0.005 ]  単位 [ m ]   │
│ 測定量 T: 値 [ 2.007 ]  誤差 ± [ 0.005 ]  単位 [ s ]   │
├────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 丸め設定: [ 自動（先頭が1なら2桁） ]  合成法: [ 二乗和 ]│
├────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 【レポート用表記】 (9.80 ± 0.07) m/s² (相対誤差 0.71%) │
│ ・各変数の寄与率: T (49.8%), L (50.2%)                 │
│ ・偏微分・代入の途中式をステップ順に展開表示           │
│ [ レポート結果をコピー ]  [ リセット ]                 │
└────────────────────────────────────────────────────────┘

式を入力する：g = 4*pi^2*L/T^2 や R = V/I などを入力します。プリセットボタンを押せば代表的な実験の式がワンクリックでセットされます。
測定値と誤差を入れる：各変数の入力欄が現れるので、測定値と誤差（絶対値または%）を入力します。
寄与度と途中式を確認する：どの測定量が結果の不確かさに最も影響を与えているか（分散寄与率%）が瞬時にわかるため、レポートの考察で「精度を上げるにはどの測定を改善すべきか」を論理的に記述できます。
ワンクリックでコピー：GUMルールに従って自動整形された「値 ± 誤差」をそのまま実験ノートやレポートに貼り付けられます。

7. よくある質問 FAQ

Q1. 誤差（不確かさ）が書かれていない測定値はどう扱えばいいですか？

A. 最小目盛りの半分（ノギスなら $0.05\text{ mm}$ 、定規なら $0.5\text{ mm}$ 、デジタル表示なら最下位桁の半分 $\pm 0.5$ ）を目安として誤差に設定します。測定器の取扱説明書に精度規格（例: 指示値の $\pm 0.5\% + 2\text{digit}$ ）が記載されている場合は、その仕様に従って計算します。

Q2. 系統誤差（器差）と偶然誤差は一緒に二乗和にしてよいですか？

A. GUMの枠組みでは、統計的に求めた偶然誤差（タイプA評価）も、仕様書や校正証明書から見積もった系統的な不確かさ（タイプB評価）も、それぞれ「標準不確かさ（標準偏差相当）」に換算した上で、同一の二乗和公式によって合成することが認められています。

Q3. 二乗和で計算した結果と最大誤差で計算した結果、レポートにはどちらを書くべきですか？

A. 原則として「二乗和（標準不確かさ）」を記載します。もし担当教員や指導書が最悪値評価を意図している場合は最大誤差を記載するか、考察欄に「独立な偶然誤差とみなした二乗和では $\pm 0.07$ 、最悪値の最大誤差では $\pm 0.10$ となる」と両論を併記すると非常に評価の高いレポートになります。

8. 関連ツールと参考資料

参考文献・規格

NIST Technical Note 1297: Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results (B. N. Taylor and C. E. Kuyatt)
JCGM 100:2008 (GUM): Guide to the expression of uncertainty in measurement (BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML)
JIS Z 8103:2019: 計測用語（日本産業規格）
OpenStax University Physics Volume 1: Chapter 1 Units and Measurement

参考資料・仕様

NIST Technical Note 1297: Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results
合成標準不確かさの二乗和公式（式 A-3）、感度係数（偏微分）、有効数字の表示規則の国際標準ガイドライン。
JCGM 100:2008 (GUM) — Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement
計測における不確かさの評価・合成・報告に関する国際規格（ISO/IEC Guide 98-3）。
OpenStax — University Physics Volume 1: Units and Measurement — Uncertainty
大学物理の基礎実験における測定不確かさの合成と相対誤差の伝播ルール。

記事の制作・検証・更新の方針は編集方針をご覧ください。

記事・計算例の検証範囲と引用フォーマット

数理検算・仕様照合済みブラウザ内ローカル処理

連動ツールの検算・検証内容: 教科書例（w·x→9.0±0.9、x/y→0.67±0.15と0.7±0.2、x·cosθ→1.20±0.12と±0.13、A·sin y→1.120±0.008）、単振り子の偏微分の恒等式、数値微分との一致、式の解析とエラー処理を単体テストで確認。例題の値は独立した手計算と、密度の例のMonte Carlo計算で検算

本記事の計算例・比較表は明示した前提条件（温度・単位・規格版数）の範囲で検算しています。レポートや技術資料で本記事・連動ツールを引用する際は、以下のAPA第7版またはBibTeX形式をコピーしてご利用いただけます。

APA 7th Edition

Tools Hub編集部. (2026). 誤差伝播の法則と計算手順｜実験レポートでの偏微分・二乗和と丸め方. Tools Hub. https://the-tools-hub.net/blog/error-propagation-guide/

BibTeX (@misc)

@misc{tools_hub_error_propagation_guide_2026,
  author = {{Tools Hub編集部}},
  title = {誤差伝播の法則と計算手順｜実験レポートでの偏微分・二乗和と丸め方},
  year = {2026},
  url = {https://the-tools-hub.net/blog/error-propagation-guide/}
}

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誤差伝播計算

測定値とその誤差から、式で計算した結果の誤差を求めます。偏微分で各測定の寄与を表示し、二乗和と最大誤差、有効数字に合わせた「値 ± 誤差」の表記まで確認できます。

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計算はすべてお使いの端末内で実行され、外部サーバーにデータは送信されません。

実験データ・統計・偏差値解析

記事から続けて使える連動ステップ

統計量算出・偏差値換算・有効数字丸め・最小二乗法・誤差伝播ワークフロー

得点や測定データの平均・標準偏差算出から、偏差値（Tスコア）・上位割合への換算、JIS有効数字丸め、最小二乗法回帰、不確かさ伝播までを一貫して処理します。

最初に知っておくこと

結論：誤差伝播の公式早見表

1. 誤差伝播の考え方と偏微分による一般式の導出

二乗和（平方和の平方根）にする理由

2. 二乗和 vs 最大誤差：レポートでどちらを使うべきか？

3. レポートで減点されない「丸め方と有効数字」の国際ルール

ステップ 1：誤差（不確かさ）を1桁または2桁に丸める

ステップ 2：測定値本体の末位を、不確かさの最後の桁にそろえる

4. 実験レポートで頻出する4つの実践手計算例

例題 1：オームの法則による電気抵抗 R=VIR = \frac{V}{I}R=IV​

例題 2：単振り子による重力加速度 g=4π2LT2g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}g=T24π2L​

例題 3：円柱の体積と密度 ρ=mπd2h4\rho = \frac{m}{\frac{\pi d^2 h}{4}}ρ=4πd2h​m​

例題 4：近い温度の引き算による「桁落ち」 ΔT=T2−T1\Delta T = T_2 - T_1ΔT=T2​−T1​

5. よくある間違い・落とし穴チェックリスト

6. 無料ツールで手計算を即座に検算する

7. よくある質問 FAQ

Q1. 誤差（不確かさ）が書かれていない測定値はどう扱えばいいですか？

Q2. 系統誤差（器差）と偶然誤差は一緒に二乗和にしてよいですか？

Q3. 二乗和で計算した結果と最大誤差で計算した結果、レポートにはどちらを書くべきですか？

8. 関連ツールと参考資料

関連ツール

参考文献・規格

参考資料・仕様

記事・計算例の検証範囲と引用フォーマット

誤差伝播計算

統計量算出・偏差値換算・有効数字丸め・最小二乗法・誤差伝播ワークフロー

例題 1：オームの法則による電気抵抗 $R = \frac{V}{I}$

例題 2：単振り子による重力加速度 $g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$

例題 3：円柱の体積と密度 $\rho = \frac{m}{\frac{\pi d^2 h}{4}}$

例題 4：近い温度の引き算による「桁落ち」 $\Delta T = T_2 - T_1$