ベルヌーイの定理は、静圧・流速・高さの間で、機械的エネルギーがどう配分されるかを求める式です。管が細くなった場合は、先に連続の式で流速を求め、次に圧力を計算すると整理できます。
何を求めたい？ 式とツールのモードを選ぶ
| 目的 | 使う式 | ツールのモード |
|---|---|---|
| 管径が変わった後の流速 | Q = A₁v₁ = A₂v₂ | ベルヌーイの定理・配管流路 |
| 下流の静圧 | p₂ = p₁ + ρ(v₁²−v₂²)/2 + ρg(h₁−h₂) | 同上 |
| ベンチュリ管の体積流量 | Q = Cd A₂ √[2Δp/{ρ(1−β⁴)}] | ベンチュリ管 & ピトー管 |
| ピトー静圧管の流速 | v = √(2Δp/ρ) | 同上のピトー管欄 |
| 水面からの高さHによる流出速度 | v₀ = √(2gH) | トリチェリの定理・タンク流出 |
Aは断面積（m²）、vは流速（m/s）、Qは体積流量（m³/s）、ρは密度（kg/m³）、pは圧力（Pa）、h・Hは高さ（m）です。円管ではA = πD²/4、β = D₂/D₁。Cdは指定された条件で使う流出係数で、機種や流体を問わない定数ではありません。
例1：管径100 mmから50 mmへ絞る
学習用に、水の密度998.2 kg/m³、上流流速1.5 m/s、上流静圧200 kPa、両端の高さ0 m、g = 9.80665 m/s²を仮定します。管径は内径です。摩擦・継手損失・ポンプによる仕事は含めません。
- 内径をmへ：D₁ = 0.100 m、D₂ = 0.050 m。
- 流速比は面積比：v₂ = 1.5 × (0.100/0.050)² = 6.0000 m/s。
- Q = π×0.100²/4×1.5 = 0.01178097 m³/s ≈ 11.78 L/s。
- 動圧の増加は998.2×(6²−1.5²)/2 = 16844.625 Pa。
- p₂ = 200000−16844.625 = 183155.375 Pa ≈ 183.16 kPa。
動圧は上流1.122975 kPa、下流17.9676 kPaです。同じ高さなので、どちらも静圧と動圧の合計は201.122975 kPaになります。
高さが0.5 m上がる場合は？
同じ入力でh₂だけ0.5 mにすると、さらにρg×0.5 = 4894.50 Pa下がり、p₂ ≈ 178.26 kPaです。高さを変えたのに183.16 kPaのままなら、位置の項を落としていないか確認します。
ゲージ圧と絶対圧はそろえる
圧力差を求める際は、両端に同じ基準を使います。200 kPaをゲージ圧として入れれば、183.16 kPaもゲージ圧です。気化を考えるときは絶対圧に直し、流体の温度に対応する蒸気圧と比較します。ゲージ圧が負でも、絶対圧が負という意味ではありません。
例2〜4：他のモードの入力と答えを照合する
以下も仮定した計算例です。ツールのプリセットと同じ条件にそろえています。
| 例 | 入力と仮定 | 検算結果 |
|---|---|---|
| ベンチュリ管 | D₁=80 mm、D₂=40 mm、Δp=12 kPa、ρ=998.2 kg/m³、Cd=0.98 | Q ≈ 6.24 L/s |
| ピトー管 | Δp=2.5 kPa、空気ρ=1.204 kg/m³、非圧縮近似 | v ≈ 64.44 m/s = 232.0 km/h |
| タンク底穴 | 初期水深H=2.5 m、穴径25 mm、タンク径1.2 m、Cd=0.62、両面は大気開放、損失はCdで近似 | 初期理論流速 7.002 m/s、初期実流量 2.13 L/s、理想化した排水時間 約2653秒（44分13秒） |
ベンチュリ管の代入では、D₁=0.080 m、D₂=0.040 m、A₂=π×0.040²/4、β=0.5、Δp=12000 Paとします。直径の比を面積比としてそのまま入れないでください。
ピトー管は、全圧と静圧の差をΔpとして扱います。空気の密度は温度・圧力で変化し、高速域では圧縮性の補正も必要です。この値は航空計器の性能や飛行の安全性を判定するものではありません。
排水時間が「初期流量一定」の2倍になる条件
円筒タンクの断面積をA、穴の面積をA₀とします。水面が十分広い、両側が同じ圧力、Cdが一定、水位0まで排出できる理想モデルなら
です。例のA = π×1.2²/4、A₀ = π×0.025²/4を入れると約2653秒。初期流量Q₀ = Cd A₀√(2gH)がずっと続くと仮定したAH/Q₀ ≈ 1327秒の2倍です。水位が下がると流量も減るためで、どのタンク・配管でも常に2倍という意味ではありません。細いタンク、途中の管路抵抗、残留水深、変化するCdは別のモデルになります。
ツールで再現する手順
- ベルヌーイ計算ツールの「水道配管くびれ」を選びます。
- v₂=6.0000 m/s、p₂=183.16 kPa、Q=11.78 L/sを照合します。上流圧力の単位と高さも確認します。
- 上流高さ0 mのまま下流高さだけ0.5 mへ変え、p₂=178.26 kPaになるかを確認します。
- 他の例は「ベンチュリ管流量測定」「航空機ピトー管対気速度」「貯水タンク底穴流出」のプリセットで切り替えます。入力条件をレポートに残します。
結果は丸められた表示です。手計算は途中で丸めず、最後に問題や測定の桁数に合わせます。単位変換や有効数字も利用できます。次回用に保存したい場合はツールをお気に入りに登録し、同じブラウザの「マイツール」から開けます。入力値・結果の保存機能ではありません。
適用条件と、ツールだけでは判断できないこと
- 基本式は同じ流線の定常・非圧縮・非粘性モデルです。断面平均速度に使う実配管の解析では、速度分布の補正や損失を考慮します。
- 配管損失、ポンプ、タービン、粘度、圧縮性を含む設計計算は、この基本モデルの範囲を超えます。
- ツールの低圧表示は簡易な注意です。流体の温度・蒸気圧や圧力基準を入力していないため、キャビテーションの発生有無を自動判定できません。
- ISO 5167-4:2022の公開概要は、規格の対象がベンチュリ管であることを確認する資料です。規格全文の寸法・設置条件や許容範囲への適合を本ツールが保証するものではありません。
よくある質問
細い管なら静圧は必ず低くなりますか？
この例のように、密度・高さが同じで、損失や外部からの仕事を無視できる流れでは、加速に応じて静圧が下がります。高さ、流れの供給条件、損失などが変われば、管径だけで圧力を判断できません。
動圧と位置の項を含む値は「全圧」ですか？
ピトー管などの全圧（よどみ圧）は、同じ高さで静圧と動圧を足したp＋ρv²/2です。ベルヌーイの式にはさらにρghがあり、これは高さを含めた機械的エネルギー密度です。位置の基準も書き添えて区別します。
流出係数Cdにはいつも0.98を使いますか？
いいえ。0.98はベンチュリ管の学習用プリセット値です。穴、流量計、レイノルズ数、設置条件などで異なります。指定された係数や校正値を使います。
2026年10月15日の確認内容
例題の流速・静圧・流量・排水時間を別計算で検算し、公開ツールと照合しました。参照先を流体力学の正しい章とISO 5167-4:2022の公開概要へ修正しました。図は上記の仮定に基づく計算で、現物の測定や第三者による専門監修、規格適合認証を表すものではありません。
